Aller au contenu. | Aller à la navigation


Outils personnels

This is SunRain Plone Theme
Vous êtes ici : Accueil / Semaine des Mathématiques 2013

Edition 2013 de la semaine des Mathématiques

Enigme du samedi 23 mars

L'ogre et les 20 nains

Un ogre, très affamé, a capturé 20 nains qu'il a enfermés dans la cave. Le soir venu, dans le noir absolu il leur a donné à chacun une casquette blanche, ou noire. Aucun d'eux ne connait donc la couleur de sa propre casquette, ni d'ailleurs la couleur de celle des autres. L'ogre dit alors:

Demain matin, avant que je n'ouvre la porte, vous vous mettrez chacun sur une des 20 marches, dos à la porte, la tête dirigée vers le fond de la cave. Quand j'allumerai la lumière, chacun de vous verra donc la tête des nains placés devant lui. 

En commençant par le nain debout sur la première marche, en haut de l'escalier, je poserai la même question :

Quelle est la couleur de ta casquette ?

Deux réponses possibles : BLANCHE ou NOIRE.

Si la réponse est correcte, le nain est sauvé. Dans le cas contraire, je le mange.

Aidez les nains à trouver la meilleure stratégie pour en sauver le maximum en attendant cette funeste matinée.

 

Enigme du vendredi 22 mars

 

Les bougies

 

J’ai retrouvé dans le tiroir de mon arrière-grand-mère les 4950 bougies d’anniversaire qui ont été précieusement conservées, année après année toutes n’ayant servies qu’une fois.

Quel âge a-t-elle donc ?

Enigme du jeudi 21 mars

 

Un carré remarquable.

 

Placer dans ce tableau les nombres entiers de 1 à 9 de sorte que les nombres indiqués en bout de lignes et de colonnes soient les produits par ligne et colonnes.

 

 

 

 

P=27

 

 

 

P=....

 

 

 

P=70

P=30

P=....

P=168

 

Enigme au format .pdf

Enigme du mercredi 20 MARS

 

Le triangle de papier peint

 

Lors du tapissage d’une pièce mansardée, la dernière découpe à la forme d’un triangle quelconque, comme celui ci dessous :

Suite à une erreur dans la découpe, je me retrouve avec cette pièce triangulaire dont les dimensions sont correctes, mais qui ne trouve pas sa place sur le mur. Par ailleurs, j’ai utilisé le dernier rouleau…

Le papier étant uni, quelles découpes faut-il effectuer pour finir ce tapissage ?

Enigme au format .pdf

 

Enigme du mardi 19 mars

 

Nombres  « digisibles »

On dit qu’un nombre entier est « digisible » lorsque les trois conditions suivantes sont vérifiées :

·      aucun de ses chiffres n’est nul

·      il s’écrit avec des chiffres tous différents

·      il est divisible par chacun d’eux.

Par exemple,


·      24 est « digisible » car il est divisible par 2 et par 4

·      324 est « digisible » car il est divisible par 3, par 2 et par 4

·      32 n’est pas « digisible » car il n’est pas divisible par 3.

Quel est le plus grand nombre « digisible » ?

(Il peut-être utile de se souvenir des critères de divisibilité par 5,  4, 3 et 9.)

Enigme au format .pdf

Enigme du lundi 18 mars

 

Transformation d’un essai au rugby :

 

Lorsqu’un essai a été marqué, le butteur tente de le transformer en bottant le ballon entre les poteaux et au-dessus de la barre horizontale du but adverse, depuis la perpendiculaire du point où a été aplati le ballon.

Quelle est la position la plus favorable pour transformer l’essai, sachant qu’elle est atteinte pour la valeur maximale de l’angle en H ?

Enigme au format pdf

Lundi 18 mars

Une solution

 

Il s’agit du point L , point de tangence du cercle passant par les poteaux et tangent à la perpendiculaire du point d’essai comme le montre le dessin ci-­‐dessous. 

Enigme et solution au format .pdf

Mardi 19 mars

Une solution 

Solution : Appelons n ce nombre

·      Tous les chiffres sont différents et non nul, donc pas plus de 9 chiffres.

·      Si n contient 5, il se termine par 5 et ne contient que des impaires (puisqu’il n’est pas pair, non divisible par 2, 4, 6 ou 8. Si n  contient 3, il ne contient pas 7, car alors la somme de ses chiffres ne sera pas divisible par 3, et n ne sera donc pas divisible par 3.
9315 est le plus grand « digisible »  contenant 5

·      Si n contient les 8 chiffres différents de 5 et 0 : 1+2+3+4+6+7+8+9 = 40 qui n’est pas multiple de 3, n ne sera donc pas digisibles,

·      Si on décide d’enlever 3 et 9, soit 6 chiffres.

·      Si on décide d’enlever le 4, ou le 1 : on travail avec les chiffres 9876321ou 9876324

·      Les 2 derniers chiffres de n forment un nombre divisible par 4, on écrit les plus grands nombres ainsi obtenus :

·      9876312 n’est pas divisible par 7

9867312 est divisible par 1, 2, 3, 7, 8, 9. C’est le plus grand nombre digisible.

Mercredi 20 mars

Une solution

Réponse : deux coupes suffisent : On joint les milieux de deux côtés au pied de la hauteur issu du sommet commun à ces deux côtés et on pivote chacun des morceaux autour des milieux.

Jeudi 21 mars

Une solution

 

1

9

3

P=27

6

4

8

P=.192

5

2

7

P=70

P=30

P=72

P=168

 

 On obtient facilement la place du 5 et du 7, la place du 9 par élimination, la place du 2, puis du 6 et du 8 et il ne reste que le 4.

 

Vendredi 22 mars

Une solution

 

Réponse : 99 ans :

1+2+3+4+...+(n-1)+n = n(n+1)/2  donc ici 99*100/2=4950

Samedi 23 mars

 

Une solution

 

 

Il y a une stratégie qui sauve au minimum 19 nains, les 20 sur un coup de chance.

Le soir venu, les nains décide la chose suivante : si le nain placé sur la première marche voit un nombre pair de casquette blanche, il dit blanc, il dit noir dans le cas contraire. La phrase étant entendue par tous, il suffit de décompter les casquettes blanches énoncés et comparer par rapport à celles qu'on voit en fonction de la parité attendue. Quelques exemples simples permettent de comprendre :

Les casquettes blanches et noires s'alternent. Le premier nain voit donc 9 casquette blanches, le deuxième neuf également, le troisième et le quatrième huit, etc . Le premier nain va donc dire noir, le deuxième compte un nombre impair de casquette, c'est donc que la sienne est noire sinon le premier nain aurait dit blanc. Il dit donc noir, la couleur de sa casquette. Le troisième nain lui voit 8 casquettes blanches, or le nombre vu par le premier nain était impair et le deuxième nain avait une casquette noir, c'est donc que la sienne est blanche... le raisonnement se poursuit de proche en proche.